Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 18
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...
Note que temos a interseção de um plano cuja equação é com um cilindro hiperbólico . Como o cilindro hiperbólico não é restrito como um cilindro normal, essa região não é fechada e limitada! Assim, não podemos usar o teorema do valor extremo para garantir que admite extremos globais nessas restrições...
Como não podemos saber se existem máximo e mínimos absolutos, não adianta usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vams resolver o problema pelo tradicional método de substituição...
Temos que
Já temos que uma restrição: . Substituindo essas relações na expressão de , obtemos:
Assim,
Passo 2
Não podemos esquecer que ou . Um esboço do gráfico de nesse domínio é dado a seguir:
Note que o mínimo ocorre em e não existe máximo! Assim, com :
Portanto, o mínimo de sujeita às restrições ocorre em e não ocorre máximo!