Enunciado

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;                           x - y = 1 ,             y 2 - z 2 = 1

Passo 1

Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de f sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...

Note que temos a interseção de um plano cuja equação é x - y = 1 com um cilindro hiperbólico y 2 - z 2 = 1 . Como o cilindro hiperbólico não é restrito como um cilindro normal, essa região não é fechada e limitada! Assim, não podemos usar o teorema do valor extremo para garantir que f admite extremos globais nessas restrições...

Como não podemos saber se existem máximo e mínimos absolutos, não adianta usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vams resolver o problema pelo tradicional método de substituição...

Temos que

x = 1 + y             e             z 2 = y 2 - 1

Já temos que uma restrição: y 2 ≥ 1 ⇒ y ≥ 1   o u   y ≤ - 1 . Substituindo essas relações na expressão de f , obtemos:

g y = 1 + y 2 + y 2 + y 2 - 1

Assim,

g y = 3 y 2 + 2 y

Passo 2

Não podemos esquecer que y ≥ 1 ou y ≤ - 1 . Um esboço do gráfico de g nesse domínio é dado a seguir:

Note que o mínimo ocorre em y = - 1 e não existe máximo! Assim, com y = - 1 :

x = 1 + - 1 = 0

z 2 = 1 - y 2 = 1 - 1 ⇒ z = 0

Portanto, o mínimo de f sujeita às restrições ocorre em ( 0 ,   - 1 ,   0 ) e não ocorre máximo!

Resposta

f 0 ,   - 1 ,   0 = 1     →     m í n i m o

N ã o   o c o r r e   m á x i m o

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