Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R ((tan theta)/(sqrt(1 - t^2))) d A ; R = {(x , y)| 0 <= theta <= (pi)/(3) ; 0 <= t <= (1)/(2)

Passo 1

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

int_0^((pi)/(3)) int_0^(1 // 2) ((tan theta)/(sqrt(1 - t^2))) d t d theta

Vamos separar t de theta pra não confundir as integrais...

int_0^(pi // 3) tan theta d theta int_0^(1 // 2) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

Beleza, é só a gente fazer cada uma e multiplicar no final.

Passo 2

Vamos na de theta primeiro:

int_0^(pi // 3) tan theta d theta

[ - ln (cos theta )]_0^(pi // 3)

= - ln ((1)/(2)) + ln 1

= - (ln 1 - ln 2) + 0

= ln 2

Passo 3

Vamos pra de t ...

int_0^(1 // 2) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

[a r c s e n t]_0^(1 // 2)

= a e c s e n (1)/(2) - a r c s e n 0

(pi)/(6) - 0

(pi)/(6)

Beleza, só multiplicar as duas agora

int_0^((pi)/(3)) int_0^(1 // 2) ((tan theta)/(sqrt(1 - t^2))) d t d theta = (pi)/(6) ln 2

Pronto!!

Resposta

(pi)/(6) ln 2

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