Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

ϕ x , y , z , t =   α x + β y 2 γ z + δ t 2  

Passo 1

Agora são 4 variáveis!! Calma, não muda muita coisa. A gente continua derivando uma letra por vez e considerando as outras constantes. As variáveis são x , y ,   z   e   t ...

Em x :

ϕ x =   α γ z + δ t 2 - 0 γ z + δ t 2 2

ϕ x = α γ z + δ t 2  

Aqui é só!

Passo 2

Beleza, a gente faz com y :

ϕ y =   2 β γ z + δ t 2 - 0 γ z + δ t 2 2

ϕ y = 2 β γ z + δ t 2

Aqui acabou também!

Passo 3

E agora com z :

ϕ z = 0 - y α x + β y 2 γ z + δ t 2 2

ϕ z =   - y α x + β y 2 γ z + δ t 2 2

Show! Só falta em t agora...

Passo 4

ϕ t = -   2 δ α x + β y 2 γ z + δ t 2 2

E... fim!

Resposta

ϕ x = α γ z + δ t 2

ϕ y = 2 β γ z + δ t 2

ϕ z =   - y α x + β y 2 γ z + δ t 2 2

ϕ t = -   2 δ α x + β y 2 γ z + δ t 2 2

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