Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(5 - 3 x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (d x)/(5 - 3 x)

Bem... aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = 5 - 3 x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 3 d x = - 3 d x -> d x = - (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int (d x)/(5 - 3 x) = int - (d u)/(3 u)

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (d u)/(3 u) = - (1)/(3) int (1)/(u) d u :.

int - (d u)/(3 u) = - (1)/(3) ln |u| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 5 - 3 x

int (d x)/(5 - 3 x) = int - (d u)/(3 u) :.

int (d x)/(5 - 3 x) = - (1)/(3) ln |u| + C :.

int (d x)/(5 - 3 x) = - (1)/(3) ln |5 - 3 x| + C

Resposta

int (d x)/(5 - 3 x) = - (1)/(3) ln |5 - 3 x| + C

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