Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int (d t)/((1 - 6 t)^4) , u = 1 - 6 t

Passo 1

Bora resolver essa integral aqui:

int (d t)/((1 - 6 t)^4)

Pra isso vamos usar a Regra da Substituição e o enunciado já diz pra a gente qual substituição fazer:

u = 1 - 6 t

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 6 d t = - 6 d t -> d t = - (1)/(6) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (d t)/((1 - 6 t)^4) = int (1)/((u)^4) (- (1)/(6) d u)

int - (d u)/(6 u^4)

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int - (d u)/(6 u^4) = - (1)/(6) int u^(- 4) d u = - (1)/(6) int u^(- 4) d u = - (1)/(6) * ((u^(- 4 + 1))/(- 4 + 1)) = - (1)/(6) * ((u^(- 3))/(- 3)) = (1)/(18 u^3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 1 - 6 t :

int (d t)/((1 - 6 t)^4) = int - (d u)/(6 u^4) = (1)/(18 u^3) + C

= (1)/(18 (1 - 6 t)^3) + C

Prontinho!

Resposta

int (d t)/((1 - 6 t)^4) = (1)/(18 (1 - 6 t)^3) + C

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