Calcule a integral:

∫ 0 ln ⁡ 2 t g h   x   d x

Passo 1

Vamos reescrever a integral como:

∫ 0 ln ⁡ 2 t g h   x   d x =   ∫ 0 ln ⁡ 2 s e n h   x cosh ⁡ x d x

Vamos fazer a substituição: u = cosh ⁡ x     d u = s e n h   x   d x

Aí reescrevemos como uma integral indefinida (para não ter que mudar os limites de integração)...

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Passo 2

Vamos voltar para a variável x agora:

ln ⁡ u + C = ln ⁡ cosh ⁡ x   ]   0 l n 2    

Sabendo que s e n h   x =   e x + e - x 2 …

ln ⁡ cosh ⁡ x   ]   0 l n 2   = ln ⁡ e x + e - x 2 0 l n 2

Agora é só a gente jogar os limites de integração...

ln ⁡ e l n 2 + e - l n 2 2 - ln ⁡   e 0 + e - 0 2 = ln ⁡ 2 + 1 2 2   - ln ⁡ 1 + 1 2 = ln ⁡ 5 2 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 5 2 . 1 2 = ln ⁡ 5 4

Resposta

ln ⁡ 5 4

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