Enunciado

Mostre que a curva y = 2 e x + 3 x + 5 x 3 não tem reta tangente com inclinação 2.

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos da:

y = 2 e x + 3 x + 5 x 3

E pede pra a gente provar que essa curva não tem nenhuma reta tangente com inclinação 2.

A inclinação é o coeficiente angular da reta, que podemos encontrar calculando a derivada em um ponto! Para mostrar que a curva não tem reta tangente com inclinação 2, a gente tem que mostrar que não existe derivada dessa função que resulte em 2.

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

f ( x ) = 2 e x + 3 x + 5 x 3

Vamos usar a regra da potência:

f x = x n

f ' x = n x n - 1

Além disso temos a função exponencial natural:

f x = e x

f ' x = e x

Derivando temos:

f ( x ) = 2 e x + 3 + 5 3 x 2

f ( x ) = 2 e x + 3 + 15 x 2

Passo 3

Queremos provar que pra nenhum x teremos f x = 2 , então vamos igualar a nossa função a 2 e ver no que dá:

2 e x + 3 + 15 x 2 = 2

2 e x + 15 x 2 = - 1

Só que pra qualquer x temos:

2 e x > 0

15 x 2 ≥ 0

Então é impossível que a soma desses dois termos deem - 1 ! Logo, não existe reta tangente com inclinação 2.

Resposta

Desenvolvimento acima.

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