Calcule a integral definida.

∫ 0 2 π s e n   x - cos ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para essa integral vamos precisar de um truque meio diferente. Vou multiplicar e dividir o integrando por 2 / 2 :

s e n   x - cos ⁡ x = 2 2 ⋅ s e n   x ⋅ 2 2 - 2 2 ⋅ cos ⁡ x

Mas sabemos que s e n π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2 . Assim,

s e n   x - cos ⁡ x = 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ π 4 - s e n π 4 ⋅ cos ⁡ x

Por outro lado, sabemos que s e n   a - b = s e n   a cos ⁡ b - s e n   b cos ⁡ a . Assim,

s e n   x - cos ⁡ x = 2 ⋅ s e n   x - π 4

Portanto, temos que

I = ∫ 0 2 π s e n   x - cos ⁡ x   d x = 2   ∫ 0 2 π s e n   x - π 4   d x

Passo 2

Agora você precisa lembrar da definição do módulo: x = x se x ≥ 0 e x = - x se x < 0 . Desta forma, para 0 ≤ x ≤ π 4 , temos que s e n   x - π 4 ≤ 0 . Assim, nesse intervalo temos que

s e n   x - π 4 = - s e n   x - π 4

Por outro lado, para π 4 ≤ x ≤ 5 π 4 , temos que s e n   x - π 4 ≥ 0 . Portanto, nesse intervalo

s e n   x - π 4 = - s e n   x - π 4

Por fim, para 5 π 4 ≤ x ≤ 2 π , temos que

s e n   x - π 4 = - s e n   x - π 4

Desta forma, podemos quebrar a integral I em três:

I = 2   - ∫ 0 π 4 s e n   x - π 4   d x + ∫ π 4 5 π 4 s e n   x - π 4   d x - ∫ 5 π 4 2 π s e n   x - π 4   d x

Passo 3

Lembrando que a primitiva do seno é menos cosseno, vamos ter

I = 2   cos ⁡ x - π 4 0 π 4 - cos ⁡ x - π 4 π 4 5 π 4 + cos ⁡ x - π 4 5 π 4 2 π

Assim,

I = 2   cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 4 - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 + cos ⁡ 7 π 4 - cos ⁡ π

Portanto,

I = 2   1 - 2 2 + 1 + 1 + 2 2 + 1

Logo,

I = 4 2

Resposta

4 2

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