Calcule a integral indefinda

∫ d x x 2 - x + 2

Passo 1

∫ d x x 2 - x + 2

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a 2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

x 2 - x + 2

Primeiro, vamos olhar so p x 2 - x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

x 2 - x

Comaprando, teremos

a = x

b = 1 2

Agora, temos que somar e subtrair b 2 que achamos da equação original

x 2 - x + 2 + 1 2 2 - 1 2 2

Organizando

x 2 - x + 1 4 + 2 - 1 4 = x 2 - x + 1 4 + 7 4 = x - 1 2 2 + 7 4

Estamos quaaaase com o a 2 + 1 , para isso vamos colocar o 7 4 em evidência:

x - 1 2 2 + 7 4 = 7 4 x - 1 2 2 7 4   + 1 = 7 4 4 7 x - 1 2 2   + 1

A nossa integral fica:

∫ d x x 2 - x + 2 = ∫ d x 7 4 4 7 x - 1 2 2   + 1 = 4 7 ∫ d x 4 7 x - 1 2 2   + 1

Passo 2

Com aquela integral:

4 7 ∫ d x 4 7 x - 1 2 2   + 1

Vamos fazer a substituição

4 7 x - 1 2 2 = a 2

a = 4 7 x - 1 2 → d a = 4 7 d x → d x = 7 4 d a

A nossa integral em a vai ser:

4 7 ∫ d x 4 7 x - 1 2 2   + 1 = 4 7 ∫ 7 4 d a a 2   + 1 = 4 7 7 4 ∫ d a a 2   + 1

Essa integral em a é a tg - 1 ⁡ a , então teremos:

4 7 7 4 ∫ d a a 2   + 1 = 4 7 7 4 tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

4 7 7 4 tg - 1 ⁡ a + C = 4 7 7 4 tg - 1 ⁡ 4 7 x - 1 2 + C

Resposta

4 7 7 4 tg - 1 ⁡ 4 7 x - 1 2 + C

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