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Calcule a integral indefinida

∫ d u u 16 u 2 - 9

Passo 1

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Vamos pegar o 16 u 2 - 9 e tentar arrumá-lo:

16 u 2 - 9

Primeiro, colocamos o 9 em evidência

16 u 2 - 9 = 9 16 9 u 2 - 1

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a sugstituição

16 u 2 9 = x 2

Que é o mesmo que

4 u 3 = x → u = 3 4 x

Assim:

d u = 3 4 d x

Substituindo na integral:

∫ d u u 16 u 2 - 9 = ∫ 3 4 d x 3 4 x 9 x 2 - 1 = ∫ d x x 9 x 2 - 1

1 3 ∫ d x x x 2 - 1

Passo 2

Vamos para a integral em x

1 3 ∫ d x x x 2 - 1

Ela vai ser exatamente a integral da sec - 1 ⁡  

1 3 ∫ d x x x 2 - 1 = 1 3 sec - 1 ⁡ x + C

Voltando para u :

1 3 sec - 1 ⁡ x + C = 1 3 sec - 1 ⁡ 4 u 3 + C

Resposta

1 3 sec - 1 ⁡ 4 u 3 + C

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