Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 + 1 x - 1 3   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para simplificar o denominador, vamos fazer a substituição t = x - 1 ⇒ x = t + 1 . Fazendo isso, d x = d t , logo

I = ∫ x 2 + 1 x - 1 3   d x = ∫ t + 1 2 + 1 t 3   d t

Portanto,

I = ∫ t 2 + 2 t + 2 t 3   d t

Passo 2

Assim, podemos reescrever a integral:

I = ∫ 1 t + 2 t - 2 + 2 t - 3   d t

Fazendo as integrais:

I = ln ⁡ t - 2 t - 4 t 2 + C

Passo 3

Voltando para a variável original com t = x - 1 :

I = ln ⁡ x - 1 - 2 x - 1 - 4 x - 1 2 + C

Resposta

ln ⁡ x - 1 - 2 x - 1 - 4 x - 1 2 + C

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