Enunciado

Calcule a integral abaixo:

int (24)/(y sqrt(y^2 - 16 )) d y

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int (24)/(y sqrt(y^2 - 16 )) d y

y = 4 u d y = 4 d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int (24)/(y sqrt(y^2 - 16 )) d y = 24 int (1)/(4 u sqrt((4 u)^2 - 16)) 4 d u = 24 int (1)/(u sqrt(16 u^2 - 16)) d u =

= 24 int (1)/(4 u sqrt(u^2 - 1)) = 6 int (1)/(u sqrt(u^2 - 1)) d u

Passo 3

Chegamos em umaa integral que é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

6 int (1)/(u sqrt(u^2 - 1)) d u = 6 sec^(- 1) |u| + C

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec^(- 1) (y) = (1)/(|y| sqrt(y^2 - 1 )) , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota.

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

6 sec^(- 1) |u| + C = 6 sec^(- 1) |(y)/(4)| + C

Resposta

6 sec^(- 1) |(y)/(4)| + C

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