Calcule a integral indefinida

∫ d x 1 + x x

Passo 1

∫ d x 1 + x x

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Ou

a 2 + 1

Mas nem soma temos direito. Vamos fazer o seguinte:

x = a → x 1 2 = a → 1 2 x - 1 2 d x = 1 2 x d x = d a

Na nossa integral, temos

1 x d x = 2 d a

Entao, vamos fazer essa substituição.

Para aquele x , vamos ter:

x = a → x = a 2

A integral vai ficar:

Como o termo x 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

∫ 2 d a 1 + a 2

Passo 2

∫ 2 d a 1 + a 2

Essa é integra é tg - 1 ⁡ y , então vamos ter:

∫ 2 d a 1 + a 2 = 2 tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x

2 tg - 1 ⁡ a + C = 2 tg - 1 ⁡ x + C

Resposta

2 tg - 1 ⁡ x + C

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