Enunciado

Calcule ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x por três métodos: (a) fazendo a substituição u = sen ⁡ x ; (b) fazendo a substituição u = cos ⁡ x ; (c) usando a identidade de 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x . Explique a aparência diferente das respostas obtidas em (a), (b) e (c).

Passo 1

  1. fazendo a substituição u = sen ⁡ x .
  2. Já vamos começar fazendo essa substituição, pessoal. Seja então:

    u = sen ⁡ x

    Derivando temos:

    d u = cos ⁡ x d x  

    Que é uma expressão que aparece na integral. Vamos trocar a variável e resolver.

    ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 2 u d u = 2 u 2 2 + C = u 2 + C

    Voltando na variável original, temos:

    ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x + C

    Passo 2

  3. fazendo a substituição u = cos ⁡ x .
  4. Seja então:

    u = cos ⁡ x

    E derivando temos:

    d u = - sen ⁡ x d x       →       - d u = sen ⁡ x d x  

    Que é uma expressão que aparece na integral. Vamos trocar a variável e resolver.

    ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 2 u - d u = - ∫ 2 u d u = - 2 u 2 2 + C = - u 2 + C

    Voltando na variável original, temos:

    ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - cos 2 ⁡ x + C

    Passo 3

  5. usando a identidade de 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x .

Usando a identidade, nós temos:

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 + C

Passo 2

Pessoal, conseguimos três respostas diferentes para a mesma integral. Por que isso?

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x + C

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - cos 2 ⁡ x + C

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 + C

A ideia é que existem infinitas primitivas para uma mesma função e como as primitivas do nosso integrando são funções trigonométricas, elas podem assumir várias formas e isso se deve ao fato de existirem muitas relações trigonométricas.

No exemplo a seguir, utilizando a resposta da primeira integral nós conseguimos chegar na resposta da segunda com uma relação trigonométrica.

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x + C = 1 - cos 2 ⁡ x + C = - cos 2 ⁡ x + ( C + 1 )

Vejam que C + 1 é outra constante, então podemos escrever:

∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - cos 2 ⁡ x + C 1

A diferença entre primitivas sempre será uma constante. Utilizando relações trigonométricas nós conseguimos perceber que as respostas só estão expressas de formas diferentes.

Resposta

  1. sen 2 ⁡ x + C
  2. - cos 2 ⁡ x + C
  3. - cos ⁡ 2 x 2 + C
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1-52 Calcule a integral.12- ∫ s e n 2 x cos 4 ⁡ xd x
4. ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ xd x
42. Calcule a integral ∫ s e n2 θ s e n6 θd θ
29. Calcule a integral ∫ tan 3 ⁡ x sec 6 ⁡ ( x )d x
38. Calcule a integral ∫ π / 4 π / 2 csc 4 ⁡ x cot 4 ⁡ ( x ) d x