Calcule a integral indefinida.

∫ r 16 - 9 r 4   d r

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

O primeiro passo é reescrever a integral:

I = ∫ r 16 - 9 r 4   d r = ∫ r 16 - 3 r 2 2   d r

Fazendo t = 3 r 2 , temos que d t = 6 r   d r . Assim,

I = 1 6 ∫ 1 16 - t 2   d t

Agora fazemos t = 4 u , de modo que d t = 4   d u :

I = 1 6 ∫ 1 16 - 16 u 2 ⋅ 4   d u = 1 6 ∫ 1 1 - u 2   d u

Passo 2

Agora podemos calcular a primitiva:

I = 1 6 a r c s e n   u + C

Como u = t / 4 :

I = 1 6 a r c s e n t 4 + C

Por fim, lembre-se que t = 3 r 2 :

I = 1 6 a r c s e n 3 r 2 4 + C

Resposta

1 6 a r c s e n 3 r 2 4 + C

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