Calcule a integral indefinida:

∫ d x 4 x - x 2

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado dentro da raiz, vejamos como.

4 x - x 2 = - ( x 2 - 4 x + 4 ) ⏟ x - 2 2 + 4 = 4 - x - 2 2

Com isso, a integral fica:

∫ d x 4 - x - 2 2

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos a 2 - x - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x - 2 = 2 sen ⁡ θ . Façamos então a substituição:

x - 2 = 2 sen ⁡ θ d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - x - 2 2 = - 4 sen 2 ⁡ θ     →       4 - x - 2 2 = 4 - 4 sen 2 ⁡ θ = 4 1 - sen 2 ⁡ θ = 4 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ d x 4 - x - 2 2 = ∫ 2 cos ⁡ θ d θ 4 cos 2 ⁡ θ = = ∫ 2 cos ⁡ θ d θ 2 cos ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x - 2 = 2 sen ⁡ θ , temos sen ⁡ θ = x - 2 2     →         θ = sen - 1 ⁡ x - 2 2 .

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x 4 - x - 2 2 = sen - 1 ⁡ x - 2 2 + C

Resposta

∫ d x 4 x - x 2 = sen - 1 ⁡ x - 2 2 + C

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