Calcule a integral indefinida:

∫ d x 4 x + x 2

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado dentro da raiz, vejamos como.

4 x + x 2 = x 2 + 4 x + 4 ⏟ x + 2 2 - 4 = x + 2 2 - 4

Com isso, a integral fica:

∫ d x x + 2 2 - 4

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x + 2 2 - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x + 2 = 2 sec ⁡ θ . Façamos então a substituição:

x + 2 = 2 sec ⁡ θ d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, x + 2 2 = 4 sec 2 ⁡ θ     →       x + 2 2 - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 4 tan 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão da integral e trocar a variável:

∫ d x x + 2 2 - 4 = ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 4 tan 2 ⁡ θ = 2 2 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ

= ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C

Aqui usamos ∫ s e c   θ d θ = ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x + 2 = 2 sec ⁡ θ   →     sec ⁡ θ = x + 2 2 , temos:

∫ d x x + 2 2 - 4 = = ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C

Para achar tan ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com s e c construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

tan ⁡ θ = x 2 - a 2 a   →     tan ⁡ θ = ( x + 2 ) 2 - 4 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando x + 2 , então basta trocar.

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x x + 2 2 - 4 = ln ⁡ x + 2 2 + ( x + 2 ) 2 - 4 2 + C = ln ⁡ x + 2 2 + 4 x + x 2 2 + C

= ln ⁡ x + 2 + 4 x + x 2 2 + C

Resposta

∫ d x 4 x + x 2 = ln ⁡ x + 2 + 4 x + x 2 2 + C

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