Calcule a integral indefinida:

∫ 2 d t t t 4 + 25

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é uma manipulação para transformar em algo que nós conhecemos ou que pareça mais simples do que o formato inicial. Vejam só:

∫ 2 d t t t 4 + 25 = ∫ 2 t d t t 2 t 4 + 25 = ∫ 2 t d t t 2 t 2 2 + 25

Viu o que eu fiz? Apareceu t 2 e no numerador 2 t . Vamos efetuar a substituição t 2 = x , derivando nós ficamos com 2 t d t = d x . Vamos trocar a variável:

∫ 2 t d t t 2 t 2 2     + 25 = ∫ d x x x 2 + 25

Opa! Virou uma integral que é resolvida pelo método da substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x 2 + 2 = x 2 + 5 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 5 tan ⁡ θ .

Passo 3

Façamos então a substituição:

x = 5 tan ⁡ θ d x = 5 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 25 tan 2 ⁡ θ     →     x 2 + 25 = 25 tan 2 ⁡ θ + 25 = 25 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 25 sec 2 ⁡ θ .

Passo 4

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x x x 2 + 25 = ∫ 5 sec 2 ⁡ θ d θ 5 tan ⁡ θ 25 sec 2 ⁡ θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan ⁡ θ 5 sec ⁡ θ = 1 5 ∫ sec ⁡ θ d θ tan ⁡ θ

= 1 5 ∫ 1 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 5 ∫ 1 sen ⁡ θ d θ = 1 5 ∫ csc ⁡ θ d θ

Aqui nós usamos ∫ c s c   θ d θ = - ln ⁡ | csc ⁡ θ + cot ⁡ θ | + C .

1 5 ∫ csc ⁡ θ d θ = - 1 5 ln ⁡ | csc ⁡ θ + cot ⁡ θ | + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável t , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = t 2 e x = 5 tan ⁡ θ , então:

∫ 2 d t t t 4 + 25 = - 1 5 ln ⁡ | csc ⁡ θ + cot ⁡ θ | + C

Para achar csc ⁡ θ e cot ⁡ θ nós olhamos o triângulo construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

csc ⁡ θ = x 2 + a 2 x = x 2 + 25 x           e           cot ⁡ θ = a x = 5 x  

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ 2 d t t t 4 + 25 = - 1 5 ln ⁡ x 2 + 25 x + 5 x + C = - 1 5 ln ⁡ x 2 + 25 + 5 x + C

= - 1 5 ln ⁡ t 4 + 25 + 5 t 2 + C

Resposta

∫ 2 d t t t 4 + 25 = - 1 5 ln ⁡ t 4 + 25 + 5 t 2 + C

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