Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 d x x 2 + 4 2

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x 2 + 4 = x 2 + 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 2 tan ⁡ θ d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 4 tan 2 ⁡ θ     →           x 2 + 4 = 4 tan 2 ⁡ θ + 4 = 4 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 4 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral:

∫ x 2 d x x 2 + 4 2 = ∫ 4 tan 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 2 = 8 16 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

= 1 2 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 1 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar a relação sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 .

1 2 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 4 θ - sen ⁡ 2 θ 2 + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2  tan ⁡ θ , temos:

∫ x 2 d x x 2 + 4 2 = 1 4 θ - sen ⁡ 2 θ 2 + C

Perceba que θ = tan - 1 ⁡ x 2   , pois x = 2 tan ⁡ θ e sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ . Para achar cos ⁡ θ e sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição som seno construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 4             e           cos ⁡ θ = a x 2 + a 2 = 2 x 2 + 4

Dessa forma,

sen ⁡ 2 θ = 2 x x 2 + 4 ⋅ 2 x 2 + 4 = 4 x x 2 + 4

E o resultado da integral será:

∫ x 2 d x x 2 + 4 2 = 1 4 tan - 1 ⁡ x 2 - 2 x x 2 + 4 + C

Resposta

∫ x 2 d x x 2 + 4 2 = 1 4 tan - 1 ⁡ x 2 - 2 x x 2 + 4 + C

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