Calcule a integral indefinida:

∫ d x 4 + x 2 3 2

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x 2 + 4 = x 2 + 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 2 tan ⁡ θ d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 4 tan 2 ⁡ θ     →           x 2 + 4 = 4 tan 2 ⁡ θ + 4 = 4 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 2 2 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x 4 + x 2 3 2 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 2 sec 2 ⁡ θ 3 2 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 sec ⁡ θ 3 = 2 2 3 ∫ d θ sec ⁡ θ = 1 4 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 4 ( sen ⁡ θ ) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2  tan ⁡ θ , temos:

∫ d x 4 + x 2 3 2 = 1 4 ( sen ⁡ θ ) + C

Para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 4

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x 4 + x 2 3 2 = 1 4 x x 2 + 4 + C

Resposta

∫ d x 4 + x 2 3 2 = x 4 x 2 + 4 + C

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