37-48. Calcule a integral.

48. ∫ 0 4 x 4 - x d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

4 x - x 2 = - x 2 - 4 x

- x 2 - 4 x = - x 2 - 4 x + 4 - 4

4 x - x 2 = - x - 2 2 + 4

Substituindo na nossa integral:

∫ 0 4 x 4 - x d x = ∫ 0 4 - x - 2 2 + 4 d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver essa “nova” integral que encontramos, vamos utilizar uma substituição trigonométrica do tipo:

x = a . sin ⁡ θ

Pois a raíz que aparece pra gente é do tipo:

a 2 - x 2

Show! A raíz que nos foi dada é 4 - x - 2 2 , então se compararmos com a raíz acima teremos os seguintes valores:

x - 2 = 2 . sin ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 2 . cos ⁡ θ d θ

Substituindo esses valores na nossa integral, teremos:

∫ 0 4 4 - x - 2 2 = ∫ 0 4 4 - 2 . sin ⁡ θ 2 2 . cos ⁡ θ d θ

Simplificando:

∫ 0 4 4 1 - sin 2 ⁡ θ 2 . cos ⁡ θ d θ = 4 ∫ 0 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Show, demos uma simplificada na nossa integral. Agora sim ficou interessante!

Passo 3

Aqui vamos substituir o cos 2 ⁡ θ por uma relação da trigonometria, pessoal! A relação é essa aqui ó:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Substituindo esse resultado na nossa integral, teremos:

4 ∫ 0 4 cos 2 ⁡ θ d θ = 4 ∫ 0 4 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 2 ∫ 0 4 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

E disso temos:

2 ∫ 0 4 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 2 ∫ 0 4 d θ + 2 ∫ 0 4 cos ⁡ 2 θ d θ

A primeira integral é de boa resolvermos, né? Para a segunda vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Substituindo na integral:

∫ 0 4 cos ⁡ u d u = sin ⁡ u 4 0

Voltando à variável θ :

sin ⁡ u 4 0 = sin ⁡ 2 θ 4 0

Passo 4

Agora para a primeira integral, temos:

2 ∫ 0 4 d θ = [ 2 θ ] 4 0

Somando o resultado das duas integrais, teremos:

2 ∫ 0 4 d θ + 2 ∫ 0 4 cos ⁡ 2 θ d θ = sin ⁡ 2 θ 4 0 + [ 2 θ ] 4 0

Da substituição trigonométrica feita no início da resolução, temos a seguinte relação:

sin ⁡ 2 θ = 2 . sin ⁡ θ . cos ⁡ θ = 2 . x - 2 2 . 4 - x - 2 2 2

∴ sin ⁡ 2 θ = x - 2 2 . 4 - x - 2 2

E para θ :

2 θ = 2 . a r c sin ⁡ x - 2 2

Logo, nosso resultado final será:

∫ 0 4 x 4 - x d x = x - 2 2 . 4 - x - 2 2 + 2 . a r c sin ⁡ x - 2 2 4 0

∴ ∫ 0 4 x 4 - x d x = 2 π

E é isso, pessoal! 😉

Resposta

∫ 0 4 x 4 - x d x = 2 π

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