Calcule a integral indefinida:

∫ x 3 d x 25 - x 2 2

Passo 1

Pessoal, antes de tentar resolver a integral, vamos fazer a seguinte manipulação:

∫ x 2 ⋅ x d x 25 - x 2 2

Pronto! Vamos tentar a substituição u = 25 - x 2     →         d u = - 2 x d x   →       d x = - d u 2 . Vamos tentar trocar a variável da integral.

∫ x 2 ⋅ x d x 25 - x 2 2 = ∫ x 2 ⋅ - d u 2 u 2

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , ainda sobrou um x 2 , porém, temos que x 2 = 25 - u , então:

∫ x 2 ⋅ x d x 25 - x 2 2 = ∫ ( 25 - u ) ⋅ - d u 2 u 2 = - 1 2 ∫ 25 - u u 2 d u

Essa é uma integral quase imediata.

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos fazer o seguinte:

- 1 2 ∫ 25 - u u 2 d u = - 1 2 ∫ 25 u 2 - u u 2 d u = - 1 2 ∫ 25 u - 2 - 1 u d u

Agora vamos usar ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 e ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C .

- 1 2 ∫ 25 u - 2 - 1 u d u = - 1 2 25 u - 2 + 1 - 2 + 1 - ln ⁡ u + C

= 1 2 25 u + ln ⁡ u + C

Passo 3

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 25 - x 2 , então:

∫ x 3 d x 25 - x 2 2 = 1 2 25 u + ln ⁡ u + C = 1 2 25 25 - x 2 + ln ⁡ 25 - x 2 + C

Resposta

∫ x 3 d x 25 - x 2 2 = 1 2 25 25 - x 2 + ln ⁡ 25 - x 2 + C

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