Calcule a integral indefinida.

∫ 4 - x 2 x 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o 4 - x 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = 4 - x 2

t 2 = 4 - x 2

t 2 + x 2 = 2 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin ⁡ θ = x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 sin ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = 2 sin ⁡ θ

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

∫ 4 - 2 sin ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ d θ 2 sin ⁡ θ 2

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ 4 1 - sin 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ 4 sin 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

∫ 2 cos ⁡ θ ∙ 2 cos ⁡ θ d θ 4 sin 2 ⁡ θ

∫ cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

∫ cot 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Aplicando outra Identidade Trigonométrica temos

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ∙ 1 sin 2 ⁡ θ

cot 2 ⁡ θ + 1 = csc 2 ⁡ θ

∫ csc 2 ⁡ θ - 1 d θ

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot ⁡ θ = 4 - x 2 x .

∫ csc 2 ⁡ θ - 1 d θ

- cot ⁡ θ - θ + c

- 4 - x 2 x + sin - 1 ⁡ x 2 + c

Resposta

- 4 - x 2 x + sin - 1 ⁡ x 2 + c

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