Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 2 - a 2

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o x 2 - a 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = x 2 - a 2

t 2 = x 2 - a 2

t 2 + a 2 = x 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sec ⁡ θ = x a

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = a sec ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = a sec ⁡ θ

d x = a tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ a tan ⁡ θ sec ⁡ θ a sec ⁡ θ 2 - a 2 d θ

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ a tan ⁡ θ sec ⁡ θ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) a 2 d θ

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ∙ 1 cos 2 ⁡ θ

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

∫ a tan ⁡ θ sec ⁡ θ a tan ⁡ θ d θ

∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente sec ⁡ θ = x a e tan ⁡ θ = x 2 - a 2 a .

∫ sec ⁡ θ d θ

ln ⁡ x a + x 2 - a 2 a + c

ln ⁡ x + x 2 - a 2 a + c

ln ⁡ x + x 2 - a 2 - ln ⁡ a + c

Resposta

ln ⁡ x + x 2 - a 2 - ln ⁡ a + c

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