Calcule a integral indefinida:

∫ d z z 2 - 6 z + 18 3 2

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado da expressão do denominador, vejamos como.

z 2 - 6 z + 18 = z 2 - 6 z + 9 + 9 = z - 3 2 + 9

Com isso, a integral fica:

∫ d z z 2 - 6 z + 18 3 2 = ∫ d z z - 3 2 + 9 3 2

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos z - 3 2 + 3 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser z - 3 = 3 tan ⁡ θ . Façamos então a substituição:

z - 3 = 3 tan ⁡ θ d z = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, z - 3 2 = 3 2 tan 2 ⁡ θ     →       z - 3 2 + 9 = 9   tan 2 ⁡ θ + 9 = 9 ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) = 3 2 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ d z z - 3 2 + 9 3 2 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 2 sec 2 ⁡ θ 3 2 = 3 3 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 3 ⁡ θ = 1 9 ∫ d θ sec ⁡ θ = 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 9 sen ⁡ θ + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável z , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo z - 3 = 3 tan ⁡ θ , para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com t a n   construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x a 2 + x 2   →     tan ⁡ θ = z - 3 9 + ( z - 3 ) 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando z - 3 , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d z z 2 - 6 z + 18 3 2 = 1 9 sen ⁡ θ + C = z - 3 9 9 + ( z - 3 ) 2 + C = z - 3 9 z 2 - 6 z + 18 + C

Resposta

∫ d z z 2 - 6 z + 18 3 2 = z - 3 9 z 2 - 6 z + 18 + C

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