Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x^3 sqrt(x^2 + 1) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Essa é uma integral que não é muito complicada, porém não é uma substituição tão simples de ser feita. Primeiro vamos reescrever a integral como

int x^3 sqrt(x^2 + 1) d x = int x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x

Assim, podemos fazer a substituição u = x^2 + 1 , de modo que d u = 2 x d x ⟹ x d x = d u // 2 e também que x^2 = u - 1 .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável, a integral fica

int x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x = (1)/(2) int (u - 1) sqrt(u) d u = (1)/(2) int (u^(3 // 2) - u^(1 // 2)) d u

Calculando a integral:

int x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x = (1)/(2) (u^(5 // 2))/(5 // 2) - (1)/(2) (u^(3 // 2))/(3 // 2) + C = (1)/(5) u^(5 // 2) - (1)/(3) u^(3 // 2) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x = (1)/(5) ( x^2 + 1 )^(5 // 2) - (1)/(3) ( x^2 + 1 )^(3 // 2) + C

Resposta

(1)/(5) ( x^2 + 1 )^(5 // 2) - (1)/(3) ( x^2 + 1 )^(3 // 2) + C

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