Calcule a integral indefinida

∫ s 2 s + 3 d s  

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

d d x   x n = n   x n - 1    

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Passo 2

Nosso caso temos que

∫ s 2 s + 3 d s  

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

∫ s 2 s + 3 d s     →   ∫ s 2 s + 3 - 1 / 2 d s  

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u =   2 s + 3 → s = u - 3 2      

d u = 2   d s → d u 2 =   d s

Então saca só como fica a substituição

∫ s 2 s + 3 - 1 / 2 d s     → ∫ 1 2 ( u - 3 2 ) u - 1 / 2     d u  

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

∫ 1 2 ( u - 3 2 ) u - 1 / 2     d u   → 1 4 ∫ u u - 1 2 - 3 u - 1 2     d u     = 1 4 2 3   u 3 2 - 6   u 1 2

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

1 4 2 3   u 3 2 - 6   u 1 2 =   1 6   2 s + 3 3 2 - 3 2 2 s + 3 1 2

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

∫ s 2 s + 3 d s → 1 6   2 s + 3 3 2 - 3 2 2 s + 3 1 2     + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

∫ s 2 s + 3 d s → 1 6   2 s + 3 3 2 - 3 2 2 s + 3 1 2     + C

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