Calcule a integral indefinida:

∫ e x e 2 x + 1   d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer umas substituições para tirar essa exponencial, para ficar melhor de trabalhar:

u = e x

d u = e x d x

Substituindo temos:

∫ e x e 2 x + 1   d x = ∫ 1 u ⋅ u + 1   d u = ∫ 1 u 2 + 1   d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

u = tg ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 u 2 + 1   d u = ∫ 1 tg 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 tg 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Aplicando:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ e x e 2 x + 1   d x = ∫ 1 u 2 + 1   d u = ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Temos que u = tg ⁡ θ , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ e tg ⁡ θ :

Assim os valores de sec ⁡ θ e tg ⁡ θ são:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 u 2 + 1 = u 2 + 1

tg ⁡ θ = u 1 = u

Pronto, ficamos então com:

∫ e x e 2 x + 1   d x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = ln ⁡ u 2 + 1 + u + C =

= ln ⁡ e x 2 + 1 + e x + C = ln ⁡ e 2 x + 1 + e x + C

Resposta

∫ e x e 2 x + 1   d x = ln ⁡ e 2 x + 1 + e x + C

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