Calcule a integral indefinida:

∫ x 3 x 2 + 3 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 3 tg ⁡ θ

d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 3 x 2 + 3 d x = ∫ 3 tg ⁡ θ 3 3 tg ⁡ θ 2 + 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 3 3 tg 3 ⁡ θ 3 tg 2 ⁡ θ + 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 3 ⋅ 3 tg 3 ⁡ θ 3 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 3 ⋅ 3 tg 3 ⁡ θ 3 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9 tg 3 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ - 1 + 1 sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 9 tg 3 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9 3 tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = 9 3 ∫ tg 3 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ =

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = 9 3 ∫ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 3 ⁡ θ d θ =

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ sec 4 ⁡ θ - sec  ²   ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar substituição:

u = sec ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

9 3 ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ sec 4 ⁡ θ - sec  ²   ⁡ θ d θ = 9 3 ∫ u 4 - u 2 d u = 9 3 ∫ u 4 d u + 9 3 ∫ - u 2 d u

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

9 3 ∫ u 4 d u + 9 3 ∫ - u 2 d u = 9 3 u 4 + 1 4 + 1 + 9 3 - u 2 + 1 2 + 1 + C =

= 9 3 u 5 5 + 9 3 - u 3 3 + C = 9 3 u 5 5 - 3 3 u 3 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ x 3 x 2 + 3 d x = 9 3 u 5 5 - 3 3 u 3 + C = 9 3 sec 5 ⁡ θ 5 - 3 3 sec 3 ⁡ θ + C

Temos que x = 3 tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = x 3 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ :

Assim o valor de sec ⁡ θ é:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 3 x 2 + 3 = x 2 + 3 3

Pronto, ficamos então com:

∫ x 3 x 2 + 3 d x = 9 3 sec 5 ⁡ θ 5 - 3 3 sec 3 ⁡ θ + C =

= 9 3 5 x 2 + 3 3 5 - 3 3 x 2 + 3 3 3 + C =

= 9 3 x 2 + 3 5 5 ⋅ 9 3 - 3 3 3 3 x 2 + 3 3 + C = x 2 + 3 5 5 - x 2 + 3 3 + C

Resposta

∫ x 3 x 2 + 3 d x = x 2 + 3 5 5 - x 2 + 3 3 + C

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