Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 - 4 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 2 sec ⁡ θ

d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 2 - 4 d x = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 4 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 2 tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 4 tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ 4 sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ - 4 sec ⁡ θ d θ =

= 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - 4 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Agora vamos juntar tudo:

∫ x 2 - 4 d x = 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - 4 ∫ sec ⁡ θ d θ =

= 4 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ - 4 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ - 4 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ :

Assim o valor de tg ⁡ θ é:

tg ⁡ θ = x 2 - 4 2

Pronto, ficamos então com:

∫ x 2 - 4 d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= 2 ⋅ x 2 ⋅ x 2 - 4 2 - 2 ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 + C = x x 2 - 4 2 - 2 ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 + C

Resposta

∫ x 2 - 4 d x = x x 2 - 4 2 - 2 ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 + C

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