Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (x + 1)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 - a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = sec theta

d x = sec theta tg theta d theta

Substituindo temos:

int (x + 1)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = int (sec theta + 1)/(sqrt(sec^2 theta - 1)) sec theta tg theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sec theta + 1)/(sqrt(sec^2 theta - 1)) sec theta tg theta d theta = int (sec theta + 1)/(sqrt(tg^2 theta)) sec theta tg theta d theta = int (sec theta + 1)/(tg theta) sec theta tg theta d theta =

= int (sec theta + 1) sec theta d theta = int sec^2 theta d theta + int sec theta d theta

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec^2 x d x = tg x + C

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec^2 theta d theta + int sec theta d theta = tg theta + ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = sec theta , ou seja, sec theta = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg theta :

Assim o valor de tg theta é:

tg theta = (sen theta)/(cos theta) = ((sqrt(x^2 - 1))/(x))/((1)/(x)) = (sqrt(x^2 - 1))/(x) * x = sqrt(x^2 - 1)

Pronto, ficamos então com:

int (x + 1)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = tg theta + ln |sec theta + tg theta| + C = sqrt(x^2 - 1) + ln |x + sqrt(x^2 - 1)| + C

Resposta

int (x + 1)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = sqrt(x^2 - 1) + ln |x + sqrt(x^2 - 1)| + C

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