Enunciado

Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor.

∫ 3 + ∞ d x x 2 - 4

Passo 1

Aqui temos que a integral é igual ao limite:

∫ 3 + ∞ d x x 2 - 4 = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 3 b d x x 2 - 4

Então vamos lá, a integral imprópria converge se esse limite existir, e diverge se não existir, para saber isso vamos calcular essa integral e depois aplicar no limite.

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x x 2 - 4

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 2 sec ⁡ θ

d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ d x x 2 - 4 d x = ∫ 1 4 sec 2 ⁡ θ - 4 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 2 tg ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Agora vamos juntar tudo:

∫ d x x 2 - 4 = ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ :

Assim o valor de tg ⁡ θ é:

tg ⁡ θ = x 2 - 4 2

Pronto, ficamos então com:

∫ d x x 2 - 4 = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar ao limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 3 b d x x 2 - 4 = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 3 b =

= lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b 2 + b 2 - 4 2 - 3 2 + 3 2 - 4 2 =

= lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b 2 + b 2 - 4 2 - ln ⁡ 3 2 + 9 - 4 2 = + ∞

Pronto, o limite não existe, então a integral diverge.

Resposta

A integral diverge

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a substituição trigonométrica pra verificar que ∫ 0 x a 2 - t 2d t = 1 2 a 2 sin - 1 ⁡ x a + 1 2 x a 2 - x 2 Use a figura para dar interpretações geométricas de ambos os termos no lado direito da
Calcule a integral ∫ d x x 4 x 2 - 2 Coloque em um gráfico o integrando e a integral indefinida e verifique se sua resposta é razoável.
Calcule a integral ∫ x 1 - x 4d x
Calcule a integral ∫ 0 π 2 cos ⁡ t 1 + sin 2 ⁡ t d t
Uma barra carregada de comprimento L produz um campo elétrico no ponto P a , b dado por E P = ∫ - a L - a λ b 4 π ϵ 0 x 2 + b 2 3 2 d x Em que λ é a densidade de carga por unidade de comprimento da ba