Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 3 x

d u = 3 d x

Substituindo temos:

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x = int (((6 u)/(3) + 5))/(3 sqrt((9 u^2)/(9) + 1)) d u = int ((2 u + 5))/(3 sqrt(u^2 + 1)) d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

u = tg theta

d u = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int ((2 u + 5))/(3 sqrt(u^2 + 1)) d u = int ((2 tg theta + 5))/(3 sqrt(tg^2 theta + 1)) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int ((2 tg theta + 5))/(3 sqrt(tg^2 theta + 1)) sec^2 theta d theta = int ((2 tg theta + 5))/(3 sqrt(sec^2 theta)) sec^2 theta d theta = int ((2 tg theta + 5))/(3 sec theta) sec^2 theta d theta =

= int ((2 tg theta + 5))/(3) sec theta d theta = int (2 tg theta sec theta)/(3) d theta + int (5 sec theta)/(3) sec theta d theta =

= (2)/(3) int tg theta sec theta d theta + (5)/(3) int sec theta d theta

Passo 3

Para calcular essa primeira integral vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

v = sec theta

d v = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

int tg theta sec theta d theta = int d v

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Aplicando:

int d v = v + C

Passo 4

Na segunda vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tg theta| + C

Vamos juntar tudo:

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x = int ((2 u + 5))/(3 sqrt(u^2 + 1)) d u = (2)/(3) int tg theta sec theta d theta + (5)/(3) int sec theta d theta =

= (2)/(3) v + (5)/(3) ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x = (2)/(3) v + (5)/(3) ln |sec theta + tg theta| + C = (2)/(3) sec theta + (5)/(3) ln |sec theta + tg theta| + C

Temos que u = tg theta , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim os valores de sec theta e tg theta são:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((1)/(sqrt(u^2 + 1))) = sqrt(u^2 + 1)

tg theta = (sen theta)/(cos theta) = ((u)/(sqrt(u^2 + 1)))/((1)/(sqrt(u^2 + 1))) = (u)/(sqrt(u^2 + 1)) * sqrt(u^2 + 1) = u

Pronto, ficamos então com:

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x = (2)/(3) sec theta + (5)/(3) ln |sec theta + tg theta| + C = (2)/(3) sqrt(u^2 + 1) + (5)/(3) ln |sqrt(u^2 + 1) + u| + C =

= (2)/(3) sqrt(9 x^2 + 1) + (5)/(3) ln |sqrt(9 x^2 + 1) + 3 x| + C

Resposta

int ((6 x + 5))/(sqrt(9 x^2 + 1)) d x = (2)/(3) sqrt(9 x^2 + 1) + (5)/(3) ln |sqrt(9 x^2 + 1) + 3 x| + C

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