Calcule a integral indefinida:

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 3 x

d u = 3 d x

Substituindo temos:

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x = ∫ 6 u 3 + 5 3 9 u 2 9 + 1   d u = ∫ 2 u + 5 3 u 2 + 1   d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

u = tg ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 2 u + 5 3 u 2 + 1   d u = ∫ 2 tg ⁡ θ + 5 3 tg 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 2 tg ⁡ θ + 5 3 tg 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 tg ⁡ θ + 5 3 sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 tg ⁡ θ + 5 3 sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 2 tg ⁡ θ + 5 3   sec ⁡ θ d θ = ∫ 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ 3   d θ + ∫ 5 sec ⁡ θ 3   sec ⁡ θ d θ =

= 2 3 ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + 5 3 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Para calcular essa primeira integral vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

v = sec ⁡ θ

d v = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ d v

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ d v = v + C

Passo 4

Na segunda vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Vamos juntar tudo:

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x = ∫ 2 u + 5 3 u 2 + 1   d u = 2 3 ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + 5 3 ∫ sec ⁡ θ d θ =

= 2 3 v + 5 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x = 2 3 v + 5 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = 2 3 sec ⁡ θ + 5 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Temos que u = tg ⁡ θ , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim os valores de sec ⁡ θ e tg ⁡ θ são:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 u 2 + 1 = u 2 + 1

tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ = u u 2 + 1 1 u 2 + 1 = u u 2 + 1 ⋅ u 2 + 1 = u

Pronto, ficamos então com:

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x = 2 3 sec ⁡ θ + 5 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = 2 3 u 2 + 1 + 5 3 ln ⁡ u 2 + 1 + u + C =

= 2 3 9 x 2 + 1 + 5 3 ln ⁡ 9 x 2 + 1 + 3 x + C

Resposta

∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1   d x = 2 3 9 x 2 + 1 + 5 3 ln ⁡ 9 x 2 + 1 + 3 x + C

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