Calcular a área da região limitada por y = tg^3(x) , y = 1 e x = 0 .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = tg 3 ⁡ x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até o ponto de interseção de y = 1 com y = tg 3 ⁡ x :

1 = tg 3 ⁡ x → x = π 4

Temos então que os limites de integração são 0 e π 4 .

E temos que y = 1 é a função de cima, e y = tg 3 ⁡ x é a função de baixo, vamos substituir:

A = ∫ a b f c i m a - f b a i x o d x = ∫ 0 π 4 1 - tg 3 ⁡ x d x = ∫ 0 π 4 1 d x + ∫ 0 π 4 - tg 3 ⁡ x d x =

= x 0 π 4 - ∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x = π 4 - 0 - ∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x = π 4 - ∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x

Passo 4

Para calcular ∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ tg n ⁡ u d u = 1 n - 1 tg n - 1 ⁡ u - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

Assim:

∫ tg 3 ⁡ x d x = 1 3 - 1 tg 3 - 1 ⁡ x - ∫ tg 3 - 2 ⁡ x d x = 1 2 tg 2 ⁡ x - ∫ tg ⁡ x d x =

= 1 2 tg 2 ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x = 1 2 tg 2 ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x 0 π 4 = 1 2 tg 2 ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ π 4 - 1 2 tg 2 ⁡ 0 - ln ⁡ sec ⁡ 0 =

= 1 2 ⋅ 1 2 - ln ⁡ 2 - 1 2 ⋅ 0 2 - ln ⁡ 1 = 1 2 - ln ⁡ 2 - 0 - 0 = 1 2 - ln ⁡ 2

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A = ∫ 0 π 4 1 - tg 3 ⁡ x d x = π 4 - ∫ 0 π 4 tg 3 ⁡ x d x = π 4 - 1 2 - ln ⁡ 2 = π 4 - 1 2 + ln ⁡ 2

Resposta

A = π 4 - 1 2 + ln ⁡ 2

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