Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (s e n x)/(1 + cos^2 x) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição. Se chamarmos todo o denominador de u , não acharemos sua derivada na parte de cima multiplicando d x . Porém, note que se charmarmos cos x de u , teremos exatamente sua derivada (com sinal trocado) em cima!!!

OS: a constante de integração é fundamental na resposta final!!!

Passo 2

Tomando u = cos x , segue que d u = - s e n x d x . Assim, segue imediatamente que s e n x d x = - d x . Fazendo a mudança de variável:

int (s e n x)/(1 + cos^2 x) d x = - int (1)/(1 + u^2) d u = - a r c t g u + C

Aqui precisamos lembrar que a derivada do arco tangente é 1 // ( 1 + x^2 ) .

Passo 3

Voltando a variável original:

int (s e n x)/(1 + cos^2 x) d x = - arctg (cos x) + C

Resposta

- arctg (cos x) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida. ∫ 3 t + 2 2,4d t
Calcule a integral indefinida. ∫ ln ⁡ x 2 x d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ d t 1 - 6 t 4 , u = 1 - 6 t
Calcule a integral indefinida. ∫ x sen ⁡ 1 + x 3 2 d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ s e nx xd x