Enunciado

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ).

∫ s e n   x x   d x

Passo 1

A questão pede para você calcular uma primitiva para função e em seguida fazer um gráfico dela para comparar com a própria função. No cálculo da integral, vamos precisar fazer uma substituição.

Vamos tentar a substituição u = x , assim

d u = 1 2 x   d x   ⇒ 1 x d x = 2   d u

Passo 2

Desta forma, a integral, após a substituição, pode ser escrita como

∫ s e n   x x   d x = 2   ∫ s e n   u   d u = - 2 cos ⁡ u + C

Voltando para a variável x :

∫ s e n   x x   d x = - 2 cos ⁡ x + C

Passo 3

Tomando C = 0 , em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:

Note que o sinal da curva vermelha comanda o crescimento da curva azul: esse é exatamente o comportamento que a derivada de uma função deve ter. Mas pera aí, uma função é a derivada de sua primitiva, então é exatamente isso que devemos esperar!

Resposta

- 2 cos ⁡ x + C

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