Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(sqrt(1 - x^2) a r c s e n x) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (1)/(sqrt(1 - x^2) a r c s e n x) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = a r c s e n x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

Essa substituição funciona pois:

(d u)/(d x) = (1)/(sqrt(1 - x^2)) -> d x = sqrt(1 - x^2) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (1)/(sqrt(1 - x^2) a r c s e n x) d x = int (1)/(sqrt(1 - x^2) u) (sqrt(1 - x^2) d u)

int (1)/(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos resolver a integral:

int (1)/(u) d u = ln | u | + C

Voltando a variável original:

ln | u | + C = ln | a r c s e n x | + C

Então:

int (1)/(sqrt(1 - x^2) a r c s e n x) d x = ln | a r c s e n x | + C

Prontinho!

Resposta

int (1)/(sqrt(1 - x^2) a r c s e n x) d x = ln | a r c s e n x | + C

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