Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (cos x)/(sen^2 x) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (cos x)/(sen^2 x) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = sen x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

(d u)/(d x) = cos x -> d x = (1)/(cos x) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (cos x)/(sen^2 x) d x = int (cos x)/(u^2) (1)/(cos x) d u

= int (1)/(u^2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(u^2) d u = int u^(- 2) d u = (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) = (u^(- 1))/(- 1) = - (1)/(u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sen x :

int (cos x)/(sen^2 x) d x = int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u) + C = - (1)/(sen x) + C

Resposta

int (cos x)/(sen^2 x) d x = - (1)/(sen x) + C

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