Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x

Bem... aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^2 multiplicando uma função com x , podemos então usar a mudança de variável:

u = 2 x + x^2

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 + 2 x d x = 2 (1 + x) d x -> (1 + x) d x = (d u)/(2)

Vamos agora fazer a substuição:

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x = int (sqrt(u))/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (sqrt(u))/(2) d u = int (u^((1)/(2)))/(2) d u :.

int (sqrt(u))/(2) d u = (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u :.

int (sqrt(u))/(2) d u = (1)/(2) * ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) :.

int (sqrt(u))/(2) d u = (1)/(2) * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) :.

int (sqrt(u))/(2) d u = (u^((3)/(2)))/(3) + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 2 x + x^2

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x = int (sqrt(u))/(2) d u :.

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x = (u^((3)/(2)))/(3) + C :.

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x = ((2 x + x^2)^((3)/(2)))/(3) + C

Resposta

int (x + 1) sqrt(2 x + x^2) d x = ((2 x + x^2)^((3)/(2)))/(3) + C

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