Enunciado

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ).

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😉

A questão pede para você calcular uma primitiva para função e em seguida fazer um gráfico dela para comparar com a própria função.

Parece complicado? 🤔

No cálculo da integral, vamos precisar fazer uma substituição.

Como a derivada da tangente é secante ao quadrado, vamos fazer a substituição:

u = t g   x   ⇒ d u = sec 2 ⁡ x   d x

Veja só! 😉

Passo 2

Desta forma, a integral será

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x = ∫ u 2   d u = u 3 3 + C

Voltando a variável original:

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x = 1 3 t g 3 x + C

Tomando C = 0 , em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:

Veja que a curva vermelha é sempre positiva e a curva azul é sempre crescente. Sempre que a curva azul tem uma tangente horizontal, a curva vermelha se anula e, além disso, as duas são descontínuas no mesmo ponto.

Vemos então que a curva vermelha se comporta como derivada da curva azul, que é exatamente o comportamento de uma função com relação a sua primitiva.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

1 3 t g 3 x + C

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Calcule a integral. ∫ s e n 3 x cos ⁡ xd x
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que: ∫ s e n ²x . d x = x 2 - s e n2 x 4 + C ² (b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular ∫ s e n 4x . d x .
Use integração por partes para demonstrar a fórmula da redução. tg n ⁡ x d x = tg n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x( n ≠ 1 )
Demonstre que, para as potências de seno, ∫ 0 π 2 se n 2 n ⁡ x d x = 3 * 5 * 7 * … * 2 n - 1 2 * 4 * 6 * … * 2 n π 2
Demonstre a fórmula de redução ∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x se n ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x Use a parte (a) para calcular ∫ cos 2 ⁡ x d x . Use as partes (a) e (b) para calcular ∫ cos 4