Enunciado

Use um gráfico para dar uma estimativa da área da região que está sob a curva dada. A seguir, encontre a área exata.

y = 2 x + 1 , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

A questão pede para estimarmos a área sob a curva usando um gráfico e depois para calcularmos a mesma área usando integral. O esboço da região é

Note que podemos aproximar essa área por um trapézio de base maior 1.7 , base menor 1 e altura 1 . Assim,

A ≈ 1.7 + 1 ⋅ 1 2 = 2.7 2 = 1.35

Passo 2

Agora vamos calcular a integral para obter o valor exato:

A = ∫ 0 1 2 x + 1   d x

Fazendo a substituição u = 2 x + 1 , temos que d u = 2   d x e que para x = 0 , u = 1 e para x = 1 , u = 3 . Assim,

A = 1 2 ∫ 1 3 u d u = 1 2 2 3 u 3 1 3 = 1 3 27 - 1 = 1 3 ( 3 3 - 1 )

Passo 3

Efetuando a conta, obtemos

1 3 3 3 - 1 ≈ 1.4

Observe que esse resultado não está longe de nossa estimativa, fizemos um bom trabalho!!!

Resposta

1 3 ( 3 3 - 1 )

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