Calcule a integral.

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Primeiro vamos usar a relação fundamental para reescrever o integrando:

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = ∫ s e n 2 x   s e n   x cos ⁡ x d x = ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) cos ⁡ x s e n   x   d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer u = cos ⁡ x ⇒ d u = - s e n   x   d x . Assim,

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = - ∫ 1 - u 2 u d u = ∫ u - 1 u d u

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

∫ u - 1 u d u = u 2 2 - ln ⁡ u + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = 1 2 cos 2 ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

1 2 cos 2 ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + C

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