Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int e^(tg x) sec^2 x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma tg x e uma sec^2 x , podemos então usar a mudança de variável:

u = tg x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = s e c^2 x d x

Vamos agora fazer a substuição:

int e^(tg x) sec^2 x d x = int e^u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

Agora é só aplicar:

int e^u d u = e^u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = tg x :

int e^(tg x) sec^2 x d x = int e^u d u = - e^u + C = e^(tg x) + C

Resposta

int e^(tg x) sec^2 x d x = e^(tg x) + C

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