Calcule a integral indefinida

∫ tgh 2 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? O primeiro passo para essa integral é usar a relação:

tgh 2 ⁡ 3 x = 1 - sech 2 ⁡ 3 x

Ficando com:

∫ tgh 2 ⁡ 3 x d x = ∫ 1 - sech 2 ⁡ 3 x d x = ∫ 1 d x - ∫ sech 2 ⁡ 3 x d x

E agora podemos resolver.

Passo 2

Calculemos então a integral:

∫ sech 2 ⁡ ( 3 x ) d x

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = 3 x e derivando, temos d u = 3 d x .

Vamos dividir essa expressão por 3 para deixar o d x sozinho:

d u 3 = d x

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples

∫ sech 2 ⁡ ( 3 x ) d x = ∫ sech 2 ⁡ u d u 3 = 1 3 ∫ sech 2 ⁡ u d u  

Passo 3

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( tgh ⁡ u ) ' = sech 2 ⁡ u .

Assim,

∫ sech 2 ⁡ ( 3 x ) d x = 1 3 ∫ sech 2 ⁡ u d u = 1 3 tgh 2 ⁡ u + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = 3 x .

∫ sech 2 ⁡ ( 3 x ) d x = 1 3 tgh 2 ⁡ 3 x + C

Passo 4

Agora vamos substituir o resultado na integral do problema.

∫ tgh 2 ⁡ 3 x d x = ∫ 1 d x - ∫ sech 2 ⁡ 3 x d x = x - 1 3 tgh 2 ⁡ 3 x + C

Não se esqueça da constante, hein.

Resposta

∫ tgh 2 ⁡ 3 x d x = x - 1 3 tgh 2 ⁡ 3 x + C

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