Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função f (x) = 2 tgh ((x)/(2))

Passo 1

Pessoal, para esboçar o gráfico desta função, nós precisamos ter uma ideia de como é o gráfico da função g (x) = tgh x , e a partir dele nós vamos usar transformações até chegar no gráfico da função pedida. Lembrando que

tgh x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

O gráfico da função tgh (x) apresentado no livro é

Seu domínio é o conjunto R e sua imagem é o intervalo ( - 1,1 ) .

Uma característica desse gráfico é que as retas y = 1 e y = - 1 são duas assíntotas horizontais deste gráfico, ou seja, quando o x é infinitamente grande, f (x) -> 1 e quando x é infinitamente pequeno, f (x) -> - 1 .

Passo 2

A primeira transformação que faremos no gráfico elementar para se tornar o gráfico da f ( x ) é multiplicar x por (1)/(2) e ficar com h ( x ) = t g h ((x)/(2)) . O que isso vai mudar no meu gráfico inicial?

Bom, quando multiplicamos o x por uma constante 0 < k = 1 // 2 < 1 , a interpretação geométrica é um esticamento horizontal da função. O domínio continua R e sua imagem continua sendo o intervalo ( - 1,1 ) .

Você pode pensar assim também para entender melhor, para eu ter o valor g (1) = tgh 1 , que antes eu obtia fazendo x = 1 em g , agora eu preciso ter x = 2 na nova função que é h (2) = tgh ((2)/(2)) = tgh 1 e isso indica que os pontos da função g ( x ) , no caso do primeiro quadrante, foram puxados para direita, veja que agora preciso de um valor de x mais à direita para ter o mesmo valor de y (Esticamento horizontal).

Passo 3

Agora devemos perceber que f (x) = 2 tgh (x)/(2) é duas vezes h (x) = tgh (x)/(2) , isso indica que todos os valores de y serão multiplicados por dois, o que causa um esticamento vertical da função, como vocês podem perceber abaixo:

O domínio continua R , mas agora sua imagem será intervalo ( - 2,2 ) .

O legal aqui é que, como antes as assíntotas horizontais eram y = 1 e y = - 1 , agora serão y = 2 e y = - 2 . Elas também sofrem o efeito do esticamento vertical. Bacana, né?

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x (b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x (c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x (d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x (e) lim x → ∞ ⁡ sec
23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.(a) cosh - 1 ⁡ x (b) tgh - 1 ⁡ x (c) cossech - 1 ⁡ x (d) sech - 1 ⁡ x (e) cotgh - 1 ⁡ x
23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.(a) cosh - 1 ⁡ x (b) tgh - 1 ⁡ x (c) cossech - 1 ⁡ x (d) sech - 1 ⁡ x (e) cotgh - 1 ⁡ x
23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x (b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x (c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x (d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x (e) lim x → ∞ ⁡ sec
23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x (b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x (c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x (d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x (e) lim x → ∞ ⁡ sec