Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 2 \* tgh(x / 2)

Passo 1

Pessoal, para esboçar o gráfico desta função, nós precisamos ter uma ideia de como é o gráfico da função g x = tgh ⁡ x , e a partir dele nós vamos usar transformações até chegar no gráfico da função pedida. Lembrando que

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

O gráfico da função tgh ⁡ x apresentado no livro é

Seu domínio é o conjunto R e sua imagem é o intervalo ( - 1,1 ) .

Uma característica desse gráfico é que as retas y = 1 e y = - 1 são duas assíntotas horizontais deste gráfico, ou seja, quando o x é infinitamente grande, f x → 1 e quando x é infinitamente pequeno, f x → - 1 .

Passo 2

A primeira transformação que faremos no gráfico elementar para se tornar o gráfico da f ( x ) é multiplicar x por 1 2 e ficar com h ( x ) = t g h x 2 . O que isso vai mudar no meu gráfico inicial?

Bom, quando multiplicamos o x por uma constante 0 < k = 1 / 2 < 1 , a interpretação geométrica é um esticamento horizontal da função. O domínio continua R e sua imagem continua sendo o intervalo ( - 1,1 ) .

Você pode pensar assim também para entender melhor, para eu ter o valor g 1 = tgh ⁡ 1 , que antes eu obtia fazendo x = 1 em g , agora eu preciso ter x = 2 na nova função que é h 2 = tgh ⁡ 2 2 = tgh ⁡ 1 e isso indica que os pontos da função g ( x ) , no caso do primeiro quadrante, foram puxados para direita, veja que agora preciso de um valor de x mais à direita para ter o mesmo valor de y (Esticamento horizontal).

Passo 3

Agora devemos perceber que f x = 2 tgh ⁡ x 2 é duas vezes h x = tgh ⁡ x 2 , isso indica que todos os valores de y serão multiplicados por dois, o que causa um esticamento vertical da função, como vocês podem perceber abaixo:

O domínio continua R , mas agora sua imagem será intervalo ( - 2,2 ) .

O legal aqui é que, como antes as assíntotas horizontais eram y = 1 e y = - 1 , agora serão y = 2 e y = - 2 . Elas também sofrem o efeito do esticamento vertical. Bacana, né?

Resposta

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