Calcule a integral indefinida:

∫ ln 3 ⁡ w d w w   ln 2 ⁡ w - 4  

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = ln ⁡ w   →     d u = 1 w d w , então:

∫ ln 3 ⁡ w d w w   ln 2 ⁡ w - 4   = ∫ u 3 d u   u 2 - 4  

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos u 2 - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sec ⁡ θ . Façamos então a substituição:

u = 2 sec ⁡ θ d u = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, u 2 = 2 2 sec 2 ⁡ θ     →         u 2 - 4 = 2 2 sec 2 ⁡ θ - 4 = 4 ( 1 - sec 2 ⁡ θ ) ⏞ tan 2 ⁡ θ = 2 2 tan 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ u 3 d u   u 2 - 4   = ∫ 2 sec ⁡ θ 3 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ   2 2 tan 2 ⁡ θ   = 2 3 ∫ sec 4 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ  

= 8 ∫ sec 4 ⁡ θ d θ = 8 ∫ sec 2 ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ = 8 ∫ ( tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

Aqui podemos efetuar a substituição x = tan ⁡ θ     →       d x = sec 2 ⁡ θ d θ e ficamos com:

8 ∫ ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) sec 2 ⁡ θ d θ = 8 ∫ ( x 2 + 1 ) d x = 8 x 3 3 + x + C

= 8 ( tan ⁡ θ ) 3 3 + ( tan ⁡ θ ) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável w , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 2 sec ⁡ θ , para achar tan ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com s e c construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

tan ⁡ θ = u 2 - a 2 a   →     tan ⁡ θ = u 2 - 4 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

∫ ln 3 ⁡ w d w w   ln 2 ⁡ w - 4   = 8 ( tan ⁡ θ ) 3 3 + ( tan ⁡ θ ) + C = 8 u 2 - 4 2 3 3 + u 2 - 4 2 + C

= 8 u 2 - 4 3 24 + u 2 - 4 2 + C = 4 u 2 - 4 3 12 + u 2 - 4 + C

Também fizemos a substituição u = ln ⁡ w , logo, o resultado será:

∫ ln 3 ⁡ w d w w   ln 2 ⁡ w - 4   = 4 ( ln ⁡ w ) 2 - 4 3 12 + ln ⁡ w 2 - 4 + C

Resposta

∫ ln 3 ⁡ w d w w   ln 2 ⁡ w - 4   = 4 ( ln ⁡ w ) 2 - 4 3 12 + ( ln ⁡ w ) 2 - 4 + C

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