Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) d x

Passo 1

Aqui vamos fazer a divisão dos polinômios:

Temos então que:

x^2 + 5 x + 4 = x^2 - 2 x + 1 + 7 x + 3 -> (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) = (x^2 - 2 x + 1)/(x^2 - 2 x + 1) + (7 x + 3)/(x^2 - 2 x + 1) ->

-> (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) = 1 + (7 x + 3)/((x - 1)^2)

Agora vamos substituir na integral:

int (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) d x = int 1 + (7 x + 3)/((x - 1)^2) d x = int 1 d x + int (7 x + 3)/((x - 1)^2) d x

Pronto, agora vamos calcular as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Aplicando:

int 1 d x = x + C

Passo 3

Vamos usar Frações Parciais para calcular a segunda, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

(7 x + 3)/((x - 1)^2) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1)^2 :

7 x + 3 = A (x - 1) + B

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

7 x + 3 = A (x - 1) + B

7 x + 3 = A x - A + B

7 x + 3 = x (A) + (- A + B)

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A = 7],[- A + B = 3]] ->) {[[A = 7],[B = 3 + A]] ->) {[[A = 7],[B = 3 + 7 = 10]])

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (7 x + 3)/((x - 1)^2) d x = int (7)/(x - 1) + (10)/((x - 1)^2) d x = 7 int (1)/(x - 1) d x + 10 int (1)/((x - 1)^2) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

7 int (1)/(x - 1) d x = 7 int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

7 int (1)/(u) d u = 7 ln |u| + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

10 int (1)/((x - 1)^2) d x = 10 int (1)/(v^2) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

10 int (1)/(v^2) d v = 10 int v^(- 2) d v = 10 * (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = 10 * (v^(- 1))/(- 1) + C = - (1 0)/(v) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) d x = int 1 d x + int (7 x + 3)/((x - 1)^2) d x = x + 7 ln |u| - (10)/(v) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) d x = x + 7 ln |u| - (10)/(v) + C = x + 7 ln |x - 1| - (10)/(x - 1) + C

Resposta

int (x^2 + 5 x + 4)/(x^2 - 2 x + 1) d x = x + 7 ln |x - 1| - (10)/(x - 1) + C

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