Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x - 1)/(x^3 + x^2 - 4 x - 4) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (x - 1)/(x^3 + x^2 - 4 x - 4) d x = int (x - 1)/((x - 2) (x + 1) (x + 2)) d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x - 1)/((x - 2) (x + 1) (x + 2)) = (A)/(x - 2) + (B)/(x + 1) + (C)/(x + 2)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2) (x + 1) (x + 2) :

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x - 2) (x + 2) + C (x - 2) (x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x - 2) (x + 2) + C (x - 2) (x + 1)

x - 1 = A (x^2 + 2 x + x + 2) + B (x^2 + 2 x - 2 x - 4) + C (x^2 + x - 2 x - 2)

x - 1 = A (x^2 + 3 x + 2) + B (x^2 - 4) + C (x^2 - x - 2)

x - 1 = A x^2 + 3 A x + 2 A + B x^2 - 4 B + C x^2 - C x - 2 C

x - 1 = x^2 (A + B + C) + x (3 A - C) + (2 A - 4 B - 2 C)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 0],[3 A - C = 1],[2 A - 4 B - 2 C = - 1]])

Vamos somar o primeiro com o segundo:

4 A + B = 1 -> B = 1 - 4 A

Isolando C na segunda:

C = 3 A - 1

Substituindo na terceira:

2 A - 4 B - 2 C = - 1 -> 2 A - 4 (1 - 4 A) - 2 (3 A - 1) = - 1 ->

2 A - 4 + 16 A - 6 A + 2 = - 1 -> 12 A = 1 -> A = (1)/(12)

Agora achamos B e C :

B = 1 - 4 A = 1 - 4 * (1)/(12) = (12 - 4)/(12) = (8)/(12) = (2)/(3)

C = 3 A - 1 = 3 * (1)/(12) - 1 = (3 - 12)/(12) = - (9)/(12) = - (3)/(4)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x - 1)/((x - 2) (x + 1) (x + 2)) d x = int ((1)/(12))/(x - 2) + ((2)/(3))/(x + 1) + (- (3)/(4))/(x + 2) d x =

= int (1)/(12 (x - 2)) + (2)/(3 (x + 1)) - (3)/(4 (x + 2)) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x - 2) d x + (2)/(3) int (1)/(x + 1) d x - (3)/(4) int (1)/(x + 2) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(12) int (1)/(x - 2) d x = (1)/(12) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(12) int (1)/(u) d u = (1)/(12) ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(2)/(3) int (1)/(x + 1) d x = (2)/(3) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(2)/(3) int (1)/(v) d v = (2)/(3) ln |v| + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x + 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (3)/(4) int (1)/(x + 2) d x = - (3)/(4) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (3)/(4) int (1)/(r) d r = - (3)/(4) ln |r| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

(1)/(12) int (1)/(x - 2) d x + (2)/(3) int (1)/(x + 1) d x - (3)/(4) int (1)/(x + 2) d x = (1)/(12) ln |u| + (2)/(3) ln |v| - (3)/(4) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x - 1)/(x^3 + x^2 - 4 x - 4) d x = (1)/(12) ln |u| + (2)/(3) ln |v| - (3)/(4) ln |r| + C

= (1)/(12) ln |x - 2| + (2)/(3) ln |x + 1| - (3)/(4) ln |x + 2| + C

Resposta

int (x - 1)/(x^3 + x^2 - 4 x - 4) d x = (1)/(12) ln |x - 2| + (2)/(3) ln |x + 1| - (3)/(4) ln |x + 2| + C

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