Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int x^3 sqrt(x^2 + 3) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = sqrt(3) tg theta

d x = sqrt(3) sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int x^3 sqrt(x^2 + 3) d x = int (sqrt(3) tg theta)^3 sqrt((sqrt(3) tg theta)^2 + 3) sqrt(3) sec^2 theta d theta =

= int 3 sqrt(3) tg^3 theta sqrt(3 tg^2 theta + 3) sqrt(3) sec^2 theta d theta = int 3 * 3 tg^3 theta sqrt(3 (tg^2 theta + 1)) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int 3 * 3 tg^3 theta sqrt(3 (tg^2 theta + 1)) sec^2 theta d theta = int 9 tg^3 theta sqrt(3 (sec^2 theta - 1 + 1)) sec^2 theta d theta =

= int 9 tg^3 theta sqrt(3 (sec^2 theta)) sec^2 theta d theta = int 9 sqrt(3) tg^3 theta sec^2 theta sec theta d theta = 9 sqrt(3) int tg^3 theta sec^3 theta d theta =

= 9 sqrt(3) int tg theta tg^2 theta sec^3 theta d theta = 9 sqrt(3) int tg theta (sec^2 theta - 1) sec^3 theta d theta =

= 9 sqrt(3) int tg theta sec theta (sec^4 theta - sec ² theta) d theta

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar substituição:

u = sec theta

d u = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

9 sqrt(3) int tg theta sec theta (sec^4 theta - sec ² theta) d theta = 9 sqrt(3) int (u^4 - u^2) d u = 9 sqrt(3) int u^4 d u + 9 sqrt(3) int - u^2 d u

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

9 sqrt(3) int u^4 d u + 9 sqrt(3) int - u^2 d u = 9 sqrt(3) (u^(4 + 1))/(4 + 1) + 9 sqrt(3) (- (u^(2 + 1))/(2 + 1)) + C =

= 9 sqrt(3) (u^5)/(5) + 9 sqrt(3) (- (u^3)/(3)) + C = (9 sqrt(3) u^5)/(5) - 3 sqrt(3) u^3 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int x^3 sqrt(x^2 + 3) d x = (9 sqrt(3) u^5)/(5) - 3 sqrt(3) u^3 + C = (9 sqrt(3) sec^5 theta)/(5) - 3 sqrt(3) sec^3 theta + C

Temos que x = sqrt(3) tg theta , ou seja, tg theta = (x)/(sqrt(3)) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta :

Assim o valor de sec theta é:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((sqrt(3))/(sqrt(x^2 + 3))) = (sqrt(x^2 + 3))/(sqrt(3))

Pronto, ficamos então com:

int x^3 sqrt(x^2 + 3) d x = (9 sqrt(3) sec^5 theta)/(5) - 3 sqrt(3) sec^3 theta + C =

= (9 sqrt(3))/(5) ((sqrt(x^2 + 3))/(sqrt(3)))^5 - 3 sqrt(3) ((sqrt(x^2 + 3))/(sqrt(3)))^3 + C =

= (9 sqrt(3) (sqrt(x^2 + 3))^5)/(5 * 9 sqrt(3)) - (3 sqrt(3))/(3 sqrt(3)) (sqrt(x^2 + 3))^3 + C = ((sqrt(x^2 + 3))^5)/(5) - (sqrt(x^2 + 3))^3 + C

Resposta

int x^3 sqrt(x^2 + 3) d x = ((sqrt(x^2 + 3))^5)/(5) - (sqrt(x^2 + 3))^3 + C

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