Enunciado

Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.

∫ 0 4 x + 2 - x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a integral apresentada e interpretar como a área de uma região. Dessa forma, após calcular a integral iremos esboçar a região em questão.

∫ 0 4 x + 2 - x d x

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a integral devido ao módulo da seguinte maneira:

∫ 0 4 x + 2 - x d x = ∫ 0 4 x + 2 - x d x + ∫ 0 4 x - x + 2 d x

Agora resolvemos cada integral:

∫ 0 4 x + 2 - x d x = 2 3 x + 2 3 / 2 - x 2 2 0 4

∫ 0 4 x - x + 2 d x = x 2 2 - 2 3 x + 2 3 / 2 0 4

Assim temos:

∫ 0 4 x + 2 - x d x = 2 3 x + 2 3 / 2 - x 2 2 0 4 + x 2 2 - 2 3 x + 2 3 / 2 0 4

Passo 3

Aplicando os limites de integração, temos

2 3 x + 2 3 2 - x 2 2 0 4 + x 2 2 - 2 3 x + 2 3 2 0 4

= 2 3 4 + 2 3 / 2 - 4 2 2 - 2 3 0 + 2 3 / 2 - 0 2 2 + 4 2 2 - 2 3 4 + 2 3 / 2 - 0 2 2 - 2 3 0 + 2 3 / 2

= 44 3 - 4 6 - 4 3 2

Passo 4

Para o esboço do gráfico vamos dividir em duas curvas:

y = x + 2

y = x

Agora é só desenhar:

Lembra que a nossa integral estava em módulo, então todo o resultado que nos interessa é essa rachurada! O que faz bastante sentido pois o valor de uma área é sempre positivo!

Resposta

∫ 0 4 x + 2 - x d x = 44 3 - 4 6 - 4 3 2

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